Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Пусть имеется

числовая последовательность u ,u

2

,...,u

n

,... u

n

.

Символ

1

n 1

u1 u2

... un ... un

(1)

n 1

будем называть числовым рядом, а элементы последовательности

– его членами.

Общий член

ряда

un есть функция натурального

аргумента. Рассмотрим теперь

последовательность частичных сумм ряда (1):

S u ,

S

2

u u

2

,...,

S

n

u u

2

... u

n

,...

S

n

.

1

1

1

1

n 1

lim S

S, то он называется суммой ряда (1), при этом пишут

u

S.

сумм

n

n

n

n 1

Если

S

, то ряд (1) называют сходящимся, если же

S

или не существует, то

ряд называют расходящимся.

n

1

n

1

1

n

1

1

Sn

2

4k

1

2k 1 2k

1

2k 1

k 1

k 1

2 k 1

2k 1

1

1

1

1

1

1

1

...

1

1

1

1

1

2

3

3

5

5

7

2n 1

2n 1

2

2n 1

1

1

1

1

1

lim Sn lim

1

.

2n 1

2

4n

2

1

2

n

n 2

n 1

различные пределы:

S2m 1 1 1,

Следовательно, последовательность частичных сумм

S2m 0

0.

un есть сходимость

последовательности его частичных сумм Sn n 1 . Верно и

n 1

Тогда частичными суммами ряда un будут элементы последовательности an n 1 :

n 1

S1 a1,

S2 a2 ,..., Sn an ,...

m

0 N N : m n N

uk

.

Ряд un сходится

k n 1

его частичных сумм. По Критерию Коши для последовательностей

Sn n 1 сходится

0 N N : m n N

Sm Sn

m

0 N N : m n N

uk

.

k n 1

Следствие 1 (Необходимое условие сходимости ряда).

Если ряд un сходится, то

n 1

lim un 0.

(2)

n

Доказательство: если ряд сходится, то в частности

из условия Коши при m n 1

получим, что

N N : n N

n 1

0

uk

т.е.

k n 1

Однако выполнения условия lim un 0 не достаточно для того, чтобы обеспечить

n

Пример: гармонический ряд.

сходимость ряда un .

n 1

1

. Для него выполнено необходимое условие сходимости:

Рассмотрим ряд

n

n 1

1

0.

Однако, согласно критерию Коши, этот ряд расходится. В самом деле,

lim

n

n

m

отрицание условия Коши имеет вид: 0 : N

m n N :

uk

.

Возьмем

k n 1

1 ,

рассмотрим любое

N, и пусть n N 1,

m 2N 2.

Очевидно, m n N.

2

Тогда

1

1

N 1 1

1

...

1

1

...

1

.

m

2 N 2

k n 1 k

k N 2 k

N 2

2N 2

2N 2

2N 2

2N 2 2

Таким образом, 1 : N

m 2N 2 n N 1 N :

m

. Ряд расходится.

1

2

k n 1 k

def

Определение. Ряд rn uk называется n-ым остатком ряда uk .

k n 1

k 1

остатков rn n 1

Следствие 2. Последовательность

сходящегося

ряда uk является

k 1

бесконечно малой.

Доказательство: если ряд uk

сходится, то из условия Коши, взятого со значением

,

k 1

2

при переходе m получим, что

0 N N : n N

uk

2

k n 1

n

n n

0 N N

: n N

r

lim r

0

.

k 1

Доказательство: Пусть ряд uk получен из uk изменением конечного числа членов.

k 1

k 1

Тогда

найдется такой

номер

N1,

начиная

с

которого

члены

обоих рядов

будут

неразличимы. Если

uk сходится, для него будет выполнено

условие Коши, в котором

k 1

N N ( ) .Тогда

и

для

ряда

uk оно

точно

будет

выполнено,

если

k 1

:

N max N1, N

m

m

: m

uk

uk

ряд uk

0 N max N1, N

n N

k n 1

k n 1

k 1